Vol.8, No 1, 2009 pp. 137 - 147
UDC 531.39 519.87 624.0449
CONTRIBUTION TO NEW INTERPRETATION OF THE EULER-BERNOULLI EQUATION
Mirjana Filipović1, Vladimir Kokotović2
1Mihajlo Pupin Institute, Belgrade, Serbia, E-mail: mira@robot.imp.bg.ac.rs
2Ford Motor Company, Research Innovation Center, Michigan, E-mail: vkokotov@ford.com
Abstract. The introduction of link flexibility into the mathematical model complex elastic system of robots that are in contact with dynamic environment is considered. Special attention is devoted to the kinematics and dynamics of movement of elastic link in the frame of robotics configuration. The Euler-Bernoulli equation and its solution should also be expanded according to the requirements of the motion complexity of robotic systems. The elastic deformation by both amplitude and frequency is a dynamic value which depends on the total dynamics of the robot system movements. The stiffness (and damping) matrix is a full matrix. Mathematical model of the actuators also comprises coupling between elasticity forces. By superposing the particular solution of oscillatory nature (integral of Daniel Bernoulli), and the stationary solution of forced nature, we can obtain any flexible deformation of a considered mode. General form of the elastic line is a direct outcome of the system motion dynamics.
Key Words: Modeling, robot, elastic deformation, coupling, kinematics, dynamics
DOPRINOS NOVOJ INTERPRETACIJI EULER-BERNOULLI JEDNAČINE
Razmatrano je uvođenje elastičnosti linka u matematički model kompleksnog elastičnog robotskog sistema. koji je u kontaktu sa dinamičkom okolinom. U ovom radu je posvećena je posebna pažnja kinematici i dinamici kretanja elastičnog linka u okviru robotske konfiguracije. Ojler-Bernuli jednačinu kao i njeno rešenje treba proširiti prema zahtevima složenosti kretanja robotskog sistema. Elastična deformacija kako po amplitude tako i po frekvenciji je dinamička veličina koja zavisi od ukupne dinamike kretanja robotskog sistema. Matrica krutosti (i prigušenja) je puna matrica. Matematički model aktuatora takođe obuhvata kuplovanje između sila elastičnosti. Superponiranjem partikularnog rešenja oscilatornog karaktera (integral Danijela Bernulija) i stacionarnog rešenja prinudnog karaktera, mi možemo da dobijemo bilo koju elastičnu deformaciju posmatranog moda. Opšta forma elastične linije direktno sledi iz dinamike kretanja sistema.
Ključne reči: modeliranje, robot, elastična deformacija, sprezanje, kinematka, dinamika.