Vol.3, No 11, 2001 pp. 99-116
UDC 685.87:519.245(045)
ANALYSIS
OF BILLIARDS
WITH TIME-DEPENDENT
BOUNDARIES
A. Loskutov, A.B. Ryabov, L.G. Akinshin
Physics Faculty, Moscow State University, Moskow 119899 Russia
Abstract. Properties of billiards with
time-dependent boundaries are investigated. Two cases of time-dependence
are studied: stochastic perturbations of the boundary and its periodic
oscillations. A planar dispersing billiard (Lorentz gas) and focusing billiards
(in the form of stadium) are considered. Two types of focusing billiards
are explored: stadium with strong chaotic properties when the billiard
table is a domain with a boundary that consists of two semicircles and
two parallel segments tangent to them, and a near-rectangle stadium. The
problem of a particle acceleration (so called Fermi acceleration) in these
billiards is investigated. Average velocities of the particle ensemble
as a functions of the time and the number of collisions with the billiard
boundary are found. It is shown that for the case of the developed chaos,
the particle reaches unbounded velocities (i.e. the Fermi acceleration
is observed). At the same time, for a near-rectangle stadium an interesting
phenomena is observed: Depending on the initial values, the particle ensemble
can be accelerated, or its velocity can decrease uo to the quite low magnitude.
However, if the initial values do not belong to a chaotic layer then the
particle acceleration is not observed.
ANALIZA BILIJARA
SA VREMENSKI ZAVISNIM GRANICAMA
Osobine bilijara sa vremenski zavisnim granicama
se istražuju u ovom radu. Dva slučaja vremenske zavisnosti se proučavaju.
Stohastičke peturbacije granica i njihove periodične oscilacije. Razmatraju
se jedan ravansko rasejavajući bilijard (Lorentz gas) i fokusirajući bilijardi
(u obliku stadijuma). Dva tipa fokusirajućih bilijara se istražuju. Stadijum
sa izrazito haotičnim osobinama kada je bilijarski sto oblast sa granicom
koja se sastoji iz dva polukruga i dva paralelna segmenta koja su tangentna
na njih i jedan približno pravougaoni stadijum. Problem ubrzanja čestice
(tzv. Fermi-evo ubrzanje) se istražuje kod ovih bilijara. Prosečna brzina
čestice celine je nađena kao funkcija vremena i broja sudara sa granicama
bilijara. Pokazano je da za slučaj razvijenog haosa, čestice postižu neograničene
brzine (Fermi-evo ubrzanje se uočava). U isto vreme, za približno pravougaoni
stadion uočava se jedan interesantni fenomen: zavisno od početnih vrednosti
celina čestice se može ubrzati, ili njena brzina se može smanjiti do prilično
niske amplitude. Međutim, ako početne vrednosti ne pripadaju haotičnom
sloju tada se ubrzanje čestice ne uočava.
