Vol.3, No 11, 2001 pp. 81-89
UDC 517.518
INTEGRAL
METRICS WITH WEIGHT FUNCTIONS
TO REGULARIZE
SINGULARITIES NUMERICALLY
Ivan I. Cosenco
Moscow State University of Services, Moscow, Russia
E-mail: cosenco@chat.ru
Abstract. The equation of satellite
oscillations about its center of masses, which simultaneously moves on
given elliptical orbit is under consideration. The solution is
calculated
on interval of time conforming to one revolution on orbit. The
evolution
of the Cauchy problem solution with the fixed initial data is studied
depending
on parameter e of an eccentricity of orbit. The initial conditions are
set in a point of an apofocus. The point of pericentre corresponds to
the
left and right ends of a range where the solution is defined. The
eccentric
anomaly is used as independent variable. Parameter of an eccentricity
can
vary in range e ? [0, 1]. The conditions of continuous transition to a
limit in a space of solutions, when e = 1, are studied. Thus orbit in a
limit becomes a line segment and the satellite has collision with
center
of gravity in pericentre. The equation of satellite oscillations in a
point
of pericentre has a singularity. When e = 1, the right side of
differential
equation has a non-uniform limit. The conditions of transition to the
limit
continuous on parameter of an eccentricity in space of solutions are
studied.
The computational implementation thus does not demand increase of
simulation
time when approaching to a limit case e = 1. To achieve the purpose
cited
at first a reduction of a system of the following differential
equations
is carried out. Here e is the parameter of a problem such, that e = 1 -
e 2. Above ODE system is reduced to an integral equation of a kind in
the
space of phase variables derivatives. Here x0 is the vector of the
initial
data. The solution is prolonged on parameter of a problem e from some
regular
value e 0 ? 0, regarding as non-perturbed. The reduction described
through
the formula preserves uniform topology in a phase space. Usage of the
integral
metrics for derivatives simultaneously allows construct regular
solution
prolongation algorithms on parameter even when the regularity in right
sides of equations of motion is violated. With this purpose instead of
L2([0,2p],R2) it is necessary to use the weight spaces with
corresponding
weight functions vanishing in singular points. The regularization of
algorithms
is reached due to topology exhaustion of solutions space in these
points.
Thus like it is in an implicit function theorem it is possible to
construct
an iterative process of approximating of the precise solution
concurrently
in any semi-norm of Frechet space automatically ensuring a uniform
convergence
on any subinterval of a kind [d, 2p - d] ? [0, 2p]. To prolong the
solution
on parameter the Newton's method in the weight spaces is used. In
numerical
implementations the algorithm of prolongation on parameter is performed
for finite-dimensional Galerkin's systems, received from a system of
precise
equations.
METRIKA
INTEGRALA
SA FUNKCIJAMA TEŽINE
DA BI SE
REGULISALI
SINGULARITETI NUMERIČKI
Jednačina satelitskih oscilacija oko svog
centra masa, koje se istovremeno kreću po zadatim eliptičnim orbitama
se
razmatra u ovom radu. Rešenje se izračunava za interval vremena koji je
potreban da se ostvari jedan obrtaj po orbiti. Evolucija rešenja
Košijevog
problema sa nepromenljivim početnim podacima je proučena u zavisnosti
od
parametra e koji predstavlja ekscentričnost orbite. Početni uslovi su
smešteni
u tački aro-fokusa. Tačka pericentra odgovara levom i desnom kraju
opsega
gde je rešenje definisano. Anomalija ekscentričnosti se koristi kao
nezavisno
promenljiva. Parametar ekscentričnosti se menja u opsegu ?0,1?. Uslovi
neprekidnosti prelaska na ograničenje u prostoru rešenja kada je e=1 se
proučavaju u ovom radu. Stoga orbita u graničnom uslovu postaje segment
jedne linije i satelit ima sudar sa centrom gravitacije u pericentru.
Jednačina
satelitskih oscilacija u tački pericentra ima singularnost. Kada je e=1
desna strana diferencijalne jednačine ima neuniformno ograničenje.
Uslovi
prelaska na ograničenje koje je neprekidno po parametru ekscentričnosti
u prostoru rešenja se proučava u ovom radu. Primena proračuna stoga ne
zahteva povećanje vremena simulacije kada se približava graničnom
slučaju
e=1. Da bi se postigla namera navedena na početku, vrši se redukcija
sistema
sledećih diferencijalnih jednačina. Ovde je e-parametar jednog takvog
problema
tako da je e=1?e2. Gornji sistem običnih diferencijalnih jednačina se
redukuje
na jednu integralnu predstavljenu u prostoru izvoda faznih
promenljivih.
Ovde xO predstavlja vektor početnih podataka. Rešenje je produženo po
parametru
postavljenog problema e od neke regularne vrednosti eo=O koja se
smatra kao neporemećena vrednost. Redukcija opisana putem ove formule
zadržava
uniformnu topologiju u faznom prostoru. Upotreba integralnih mera za
izvode
istovremeno omogućava konstrukciju regularnog rešenja algoritama
produžavanja
po parametru čak i kada regularnost na desnoj strani jednačina kretanja
je narušena. S ovom namerom umesto L2(?0,2p?,R2) neophodno je koristiti
prostore težine sa odgovarajućim funkcijama težine koje isčezavaju u
singularnim
tačkama. Regularizacija algoritama se postiže usled iscrpljivanja
topologije
prostora rešenja u ovim tačkama. Stoga slično onome kako je to u jednoj
teoremi implicitnih funkcija, moguće je konstruisati iterativni proces
aproksimacije preciznog rešenja istovremeno.
